ماتریس یک آرایش مستطیلی شکل از اعداد یا عبارات ریاضی است که به صورت سطر و ستون شکل یافته است. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی، فیزیک، مهندسی، اقتصاد، صنعت، کامپوتر و پزشکی دارند. ماتریس‌ها را می‌توان با هم جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد و خواص مختلفی دارند.توضیحات بیشتر
خصوصيات و خطي بودن يك ماتريس
خصوصیات و خطی بودن یک ماتریس به معنای این است که یک ماتریس خطی باشد، یعنی تبدیل خطی را نمایش دهد. یک تبدیل خطی یک تابع است که دو خاصیت زیر را دارد:
- توزیع‌پذیر بودن نسبت به جمع: T(u + v) = T(u) + T(v) برای هر u و v در فضای مبدا
- هم‌خطی بودن نسبت به ضرب در اسکالر: T(αu) = αT(u) برای هر u در فضای مبدا و هر اسکالر α
این خاصیات باعث می‌شوند که تبدیل خطی رفتار ساده و منظمی داشته باشد و قوانین جبر خطی را رعایت کند. یک ماتریس خطی می‌تواند به عنوان یک عملگر خطی بین دو فضای برداری عمل کند، به این صورت که هر بردار را با ضرب در ماتریس به یک بردار دیگر در فضای مقصد تبدیل کند.
برخی از خصوصیات و ویژگی‌های ماتریس‌های خطی عبارتند از:
- رتبه: رتبه یک ماتریس برابر با بعد فضای ستونی یا سطری آن است، یعنی حداکثر تعداد ستون‌ها یا سطر‌های مستقل خطی در آن.
- دترمینان: دترمینان یک ماتریس مربع، یک عدد است که از حذف سطر‌ها و ستون‌های آن به صورت بازگشتی به دست می‌آید و نشان‌دهنده حجم، جهت و تغییر شکل فضای تولید شده توسط ستون‌های ماتریس است.
- وارون: وارون یک ماتریس مربع، چنانچه وجود داشته باشد، یک ماتریس است که با ضرب در آن، ماتریس هماني به دست آید. وجود وارون بستگي به اين دارد كه دترمينان ماتريس صفر نباشد.
- اقتضاء: اقتضاء چگال (Full Rank) چگال يك ماتريس به اين معني است كه رتبه آن بيشينه باشد، يعني بيشينه تعداد سطرو يا ستون‌هاي آن.
- قابل قطع (Diagonalizable): قابل قطع يك ماتريس به اين معني است كه قابل تجزيه به حاصلضرب سه ماتريس PDP−1PDP−1 باشد كه P يك ماتريس قابل وارون است و D يك ماتريس قطعي است. اين خاصيت نشان‌دهنده اين است كه فضاي توليدي توسط ستون‌هاي P شامل بُعدهاي اصلي D است.
ماتریس یک آرایش مستطیلی شکل از اعداد یا عبارات ریاضی است که به صورت سطر و ستون شکل یافته است. ماتریس‌ها کاربردهای فراوانی در جبر خطی، فیزیک، مهندسی، اقتصاد، صنعت، کامپوتر و پزشکی دارند. ماتریس‌ها را می‌توان با هم جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد و خواص مختلفی دارند.توضیحات بیشتر
خصوصيات و خطي بودن يك ماتريس
خصوصیات و خطی بودن یک ماتریس به معنای این است که یک ماتریس خطی باشد، یعنی تبدیل خطی را نمایش دهد. یک تبدیل خطی یک تابع است که دو خاصیت زیر را دارد:
- توزیع‌پذیر بودن نسبت به جمع: T(u + v) = T(u) + T(v) برای هر u و v در فضای مبدا
- هم‌خطی بودن نسبت به ضرب در اسکالر: T(αu) = αT(u) برای هر u در فضای مبدا و هر اسکالر α
این خاصیات باعث می‌شوند که تبدیل خطی رفتار ساده و منظمی داشته باشد و قوانین جبر خطی را رعایت کند. یک ماتریس خطی می‌تواند به عنوان یک عملگر خطی بین دو فضای برداری عمل کند، به این صورت که هر بردار را با ضرب در ماتریس به یک بردار دیگر در فضای مقصد تبدیل کند.
برخی از خصوصیات و ویژگی‌های ماتریس‌های خطی عبارتند از:
- رتبه: رتبه یک ماتریس برابر با بعد فضای ستونی یا سطری آن است، یعنی حداکثر تعداد ستون‌ها یا سطر‌های مستقل خطی در آن.
- دترمینان: دترمینان یک ماتریس مربع، یک عدد است که از حذف سطر‌ها و ستون‌های آن به صورت بازگشتی به دست می‌آید و نشان‌دهنده حجم، جهت و تغییر شکل فضای تولید شده توسط ستون‌های ماتریس است.
- وارون: وارون یک ماتریس مربع، چنانچه وجود داشته باشد، یک ماتریس است که با ضرب در آن، ماتریس هماني به دست آید. وجود وارون بستگي به اين دارد كه دترمينان ماتريس صفر نباشد.
- اقتضاء: اقتضاء چگال (Full Rank) چگال يك ماتريس به اين معني است كه رتبه آن بيشينه باشد، يعني بيشينه تعداد سطرو يا ستون‌هاي آن.
- قابل قطع (Diagonalizable): قابل قطع يك ماتريس به اين معني است كه قابل تجزيه به حاصلضرب سه ماتريس PDP−1PDP−1 باشد كه P يك ماتريس قابل وارون است و D يك ماتريس قطعي است. اين خاصيت نشان‌دهنده اين است كه فضاي توليدي توسط ستون‌هاي P شامل بُعدهاي اصلي D است.
برای تقویت زبان چه کارهایی می‌توان انجام داد؟